- абсолютная и относительная пропускная способность системы;
- коэффициенты загрузки и простоя;
- среднее время полной загрузки системы;
- среднее время пребывания заявки в системе.
- P обс – вероятность обслуживания заявки,
- t сист – время пребывания заявки в системе.
- λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
- P обс – относительная пропускная способность системы,
- k з – коэффициент загрузки системы.
Задача
. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр.
Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение.
По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t
об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t
об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени -
три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k
=0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
Задача
. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение.
Имеем ρ = λ/μ = μt
об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 <
1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1,
2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t
об либо увеличение числа причалов n .
Задача
. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t
об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min ,
при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей,
задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l =
81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt
об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п
= 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5%
времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1
| Характеристика обслуживания | Число контролеров-кассиров | ||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Вероятность простоя контролеров-кассиров p 0 | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
| Среднее число покупателей в очереди T оч. | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
| Относительная величина затрат С отн. | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
C отн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл. 1).
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = n опт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узла расчета при n = n опт. =5. Получим P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (мин); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (мин); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 по сравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди P оч. , длина очереди L оч. и среднее время пребывания в очереди T оч. и соответственно среднее число покупателей L сист. и среднее время нахождения в узле расчета T сист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k 3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров k и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
= 1- P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , где каждое слагаемое найдем по формулам (45) – (48). Получим при n=5:
Заметим, что в случае n=3 контролеров-кассиров та же вероятность существенно меньше: P(r ≤ 3) =0,464.
2 - очередь - требования, ожидающие обслуживания.
Очередь оценивается средней длиной г - числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.
3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) - совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.
4 - выходящий поток требований со"(г) - поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.
5 - замыкание (возможное) СМО - состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.
На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.
Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.
1. По ограничениям на длину очереди:
СМО с потерями - требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;
СМО без потерь - требование занимает очередь, даже если все каналы заняты;
СМО с ограничениями по длине очереди т или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (/?/ + 1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).
2. По количеству каналов обслуживания п:
Одноканальные: п = 1;
Многоканальные п ^ 2.
3. По типу обслуживающих каналов:
Однотипные (универсальные);
Разнотипные (специализированные).
4. По порядку обслуживания:
Однофазовые - обслуживание производится на одном аппарате (посту);
Многофазовые - требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка -> мойка -> обсушка -> полировка).
5. По приоритетности обслуживания:
Без приоритета - требования обслуживаются в порядке их поступления на
СМО;
С приоритетом - требования обслуживаются в зависимости от присвоенного
им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей
скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей,
приносящих наибольшую прибыль на перевозках).
6. По величине входящего потока требований:
С неограниченным входящим потоком;
С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).
7. По структуре С МО:
Замкнутые - входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рис. 6.6));
Открытые - входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.
8. По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:
С взаимопомощью - пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование "скользящих" рабочих;
Без взаимопомощи - пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.
Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.
В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.
Интенсивность обслуживания
Относительная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.
Вероятность того, что все посты свободны Р {) , характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.
Вероятность отказа в обслуживании Р огк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю "потерянных" для системы требований.
Вероятность образования очереди Р оц определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование "встает" в очередь с числом ожидающих требований г.
Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.
Среднее время нахождения в очереди
Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И - min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.
Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п = 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С\ = 20 р.е. (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 р.е. Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.
Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (п = 2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С2 = 22р.е. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.
Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же:
}