24. Входящий поток требований
24.1 Структура СМО
Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.
В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.
Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называетсяинтенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:
где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.
Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называетсяпростейшим .
Простейший поток обладает такими важными свойствами:
Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).
Поскольку цель функционирования любой обслуживающей системы заключается в удовлетворении заявок (требований) на обслуживание, поток заявок (требований) является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания. Нужно научиться количественно описывать входящий поток требований, но для этого следует выяснить его характер и структуру.
Практически любой поток требований, поступающий в систему обслуживания, является случайным процессом. Действительно, если мы примем t =0 за начальный момент, то во многих потоках (кроме того случая, когда требования поступают строго по расписанию) либо нельзя, либо довольно трудно точно предсказать момент поступления очередного требования, а также моменты поступления последующих требований. Например, нельзя точно указать моменты прихода клиентов в ателье, пациентов в больницу, поступления вызовов на АТС, оборудования в ремонтную мастерскую и т. д.
Следовательно, моменты поступления заявок, равно и интервалы между ними, есть, вообще говоря, независимые случайные величины. Тогда процесс поступления требований в систему массового обслуживания следуя рассматривать как вероятностный или случайный процесс. Обозначим такой процесс через Х(t ). Эта функция определяет число требований, поступивших в систему за промежуток времени . Для каждого фиксированного t функция Х(t ) есть случайная величина. Действительно, если выбрать промежутки времени даже одинаковой продолжительности, то в этом случае нельзя быть уверенным в том, что в каждый из этих промежутков поступит одно и то же число требований.
За промежуток времени может не поступить ни одной заявки, а может поступить 1, 2,... заявок. Но какой бы продолжительности промежутки времени мы не выбирали, число заявок будет только целым.
Поток требований можно представить в виде графика одной из реализаций случайной величины функции Х(t ), принимают лишь целые неотрицательные значения. При этом график (рис. 24.2) представляет ступенчатую линию со скачками, равными либо единице, либо нескольким единицам в зависимости от того, поступают ли требования по одному или группами. Таким образом, случайный процесс Х(t ), обладает следующими особенностями.
1. При всяком фиксированном t функция Х(t ), принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2,...,R,... и с возрастанием не убывает.
2. Число требований, поступивших за промежуток времени , зависит от длины этого промежутка, т. е. от значения t.
3. Реализации процесса представляют собой ступенчатые линии, чем-то непохожие одна на другую. Из теории случайных процессов известно, что процесс будет полностью определен с вероятностной точки зрения, если будут известны все его многомерные законы распределения:
Однако отыскание такой функции в общем случае является весьма трудной, а иногда неразрешимой задачей. Поэтому на практике стараются использовать процессы, которые обладают свойствами, позволяющими найти более простые способы их описания. К таким свойствам относятся:
Стационарность (лучше однородность во времени);
Отсутствие последействия (марковость), иногда говорят об отсутствии памяти;
Ординарность.
Перечисленные свойства были рассмотрены выше при изучении стационарных и марковских процессов, поэтому здесь лишь напомним суть этих свойств в терминах теории массового обслуживания.
Поток требований называется стационарным или однородным во времени, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка времени зависит только от длины промежутка, а не от его временного положения (иначе говоря, не зависит от начала отсчета). Таким образом, для стационарного потока вероятность того, что за промежуток поступит ровно R требований, равна вероятности поступления R требований за промежуток [а, а + t ] , где а>0 , т. е.
Это означает, что вероятностные характеристики потока (параметры закона распределения) не должны изменяться во времени.
Свойством стационарности обладают многие реальные потоки требований, если рассматривать их в течение непродолжительных периодов. К таким потокам можно отнести: поток вызовов на АТС в определенные промежутки времени, поток покупателей в магазин, поток радиоаппаратуры, нуждающейся в ремонте, интенсивность движения пассажиров и т. п. Однако некоторые из перечисленных потоков изменяются в течение дня (вероятность вызовов в ночное время меньше чем днем, часы «пик» в работе городского транспорта).
В некоторых потоках число требований, поступивших в систему после произвольного момента времени, не зависит от числа ранее поступивших требований и моментов их поступления, т. е. интервалы между поступлениями требований считаются независимыми величинами и между ними нет связи. Будущее состояние системы не зависит от прошлого ее состояния. Поток, обладающий таким свойством, называют потоком без последействия или марковским. Свойство отсутствия последействия (отсутствия памяти) присуще многим реальным потокам. Например, поток вызовов на АТС является потоком без последействия, поскольку, как правило, очередной вызов поступает независимо от того, когда и сколько было вызовов до этого момента.
В целом ряде случаев характер потока требований таков, что одновременное появление двух или большего числа требований невозможно или почти невозможно. Поток, обладающий таким свойством, называется ординарным.
Если Р R >2 (h ) -вероятность появления за промежуток h более одного требования, то для ординарного потока должно быть:
,
т. е. ординарность потока требует, чтобы вероятность появлений более одного требования за малый промежуток времени h была бы бесконечно малой величиной более высокого порядка чем h . В одних реальных потоках это свойство является очевидным, а в других мы принимаем его с достаточно хорошим приближением к действительности. Классическими примерами такого потока являются поток вызовов на АТС и поток клиентов в ателье.
Поток требований, обладающий тремя перечисленными свойствами, называется простейшим. Можно показать, что всякий простейший поток описывается процессом Пуассона. С этой целью напомним определение процесса Пуассона, принятое в теории случайных функций.
Случайный процесс X (t ) (0≤ t <∞) целочисленными значениями называется процессом Пуассона, если он является процессом с независимыми приращениями или если любое приращение процесса за промежуток времени h распределено по закону Пуассона с параметром λ h , где λ>0 т.е.
В частности, если t =0, X(0)=0 , то (3) переписывается следующим образом:
(4)
Здесь V r (h) означает вероятность того, что интересующее нас событие произойдет ровно R раз за промежуток времени h (с точки зрения теории массового обслуживания V r (h) определяет вероятность того, что за промежуток времени h в систему обслуживания поступит ровно R требований).
Смысл параметра X легко выяснить, если найти математическое ожидание пуассоновского процесса: М [Х(t )]=М. При t = 1 получаем М[Х(1)]=1. Следовательно, есть среднее число заявок за единицу времени. Поэтому величину λ часто называют интенсивностью или плотностью потока.
Из определения процесса Пуассона немедленно вытекают три свойства, идентичные указанным выше:
1) Независимость приращений. В независимости приращений для процесса Пуассона заключается отсутствие последействия- марковость процесса.
2) Однородность во времени. Это означает, что вероятности V r (h) не зависят от начального момента t рассматриваемого промежутка , а зависят только от длины промежутка h :
3)Ординарность. Ординарность процесса Пуассона означает практическую невозможность поступления группы требований в один и тот же момент.
Итак, одновременное поступление двух и более требований за малый промежуток времени h маловероятно, поэтому
что указывает на ординарность процесса Пуассона.
Таким образом, мы установили, что поток, описываемый процессом Пуассона, является простейшим. Однако справедливо и обратное предположение, что простейший поток описывается процессом Пуассона. Вследствие этого простейший поток часто называют так же пуассоновским потоком. Пуассоновский процесс в теории массового обслуживания занимает особое место, аналогичное тому, какое в теории вероятностей среди других законов распределения занимает нормальный закон. И дело не в том, что он описывается математически наиболее просто, а в том, что он наиболее распространен. Пуассоновский поток является предельным (асимптотическим потоком при объединении большого числа других потоков).
L () - входной поток объектов, подлежащих обнаружению - интенсивность усилий поиска
Для описания другой важнейшей составной части любой , - входного потока заявок, - обычно задают вероятностный закон, которому удовлетворяют длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками. Эти длительности обычно являются статистически независимыми и их распределение не изменяется в течение некоторого достаточно продолжительного промежутка времени. Иногда встречаются системы, в которых заявки могут поступать группами (например, посетители в кафе). Обычно предполагается, что источник, из которого поступают заявки, практически
распределением Пуассона , поэтому описанный нами входной поток заявок (в пашем случае - автомобилей) называют пуассоновским).
Здесь аа, с - векторы A, G, С - матрицы коэффициентов у х - векторы выходных и входных потоков объекта и - вектор переменных, обеспечивающих диапазонную зависимость выходов от входов.
Необходимо установить значение научных знаний в технологическом развитии. Воспринимать технологию как "применение научного знания" означает воспринимать последнее как феномен, происходящий вне рамок функционирования технологии как таковой. Здесь внимание концентрируется на "входных потоках" знаний (от науки), важных для производственных процессов . Такое представление о "получаемом знании" вступает в противоречие с многочисленными доказательствами того, что "технологические усовершенствования обычно происходят рапсе их научного осмысления".
Рассмотрим условия бесперебойного функционирования поставщиков. Они выражаются как ограничения на случайный входной поток Qkl
Модель а, предназначена для представления в ТП структуры агрегата (узла) и имитации его работы сменой состояний жизненного цикла как функции команд и событий, поступающих на него. При этом состояния жизненного цикла представляют операции, выполняемые узлом над входным потоком и состоянием узла (занят - свободен, исправен - неисправен). Модель узла включает функции (задачи) управления преобразованием потока, проходящего через узел, - функции регуляторов, защит, блокировок.
На схеме дано изображение трех основных входных потоков (вода, пища и топливо) и трех выходных потоков (сточные воды , твердые отходы и загрязнения воздуха), которые являются общими для всех городов. В этой модели появляются величины, измеренные в натуральных единицах, а именно отходы производства по каждому виду загрязнителей. Это обстоятельство существенно меняет привычные свойства модели межотраслевого баланса , в которой все величины выражены в стоимостной форме.
Входные потоки Процесс Выходные потоки
Наличие входного потока означает необходимость разгрузки транспорта, проверки количества и качества прибывшего груза. Выходной поток обусловливает необходимость погрузки транспорта, внутренний - необходимость перемещения груза внутри склада.
Смешение потоков. Рассмотрим первоначально случай, когда в системе смешиваются потоки чистых веществ, имеющих одинаковую температуру Т. Обозначим через Nk число молей k-ro вещества, поступающего в систему в единицу времени (мольный расход). Процесс смешения необратим, производство энтропии может быть найдено как разность между энтропией выходного и входных потоков. С учетом неизменности их энтальпии получим
Функция (р зависит, как и F в выражении (1.79), от параметров входного потока и потока, обогащенного целевым компонентом
Поскольку р
Ошибочные значения содержат константы и литералы. В разделе входные подобные ошибки встречаются во входных потоках информации пользователя и в файлах данных. Эти ошибки являются результатом несоответствия входных данных программным спецификациям . В разделе внутренние такие ошибки могут проявляться в виде констант или литералов, входящих в состав кода, инициализирующего некоторые вычисления.
Работа пользователя-бухгалтера при решении задач состоит в выполнении на ПЭВМ повторяющихся технологических операций (команд), реализуемых в режиме активного диалога путем набора команд на клавиатуре, или в автоматическом (программном) режиме, при котором входной поток команд заранее сформирован в специальную программу (командный файл). В режиме активного диалога решаются разные заранее не предсказуемые задачи, выдача различной справочной, аналитической и другой информации по запросу и по мере необходимости.
Помимо изложения математических схем имитационного моделирования в этой главе сопоставляются аналитическое и имитационное моделирование СМО с позиции адекватности моделируемому объекту. В результате такого сопоставления возникает важный вывод о том, что при аналитическом моделировании СМО реальных объектов результаты моделирования никогда не соответствуют поведению объекта, так как дают значения параметров СМО в установившемся режиме. Реальные же объекты, которые моделируются в виде СМО в установившемся режиме, как правило, не находятся, так как входные потоки и сами СМО постоянно меняют свои параметры и распределения, а следовательно, СМО все время находится в переходном режиме. Лишь имитационное моделирование СМО, не ограничивающее входные потоки требованиями стационарности, однородности, отсутствием по-
Входной поток заявок (требований на обслуживание) характеризуется определенной организацией и рядом параметров (рис 5.1.1) интенсивностью поступления заявок, т.е. числом заявок, в среднем поступивших в единицу времени, и законом распределения вероятностей моментов прихода заявок в систему.
Синхронизирующие моменты Рис. 5.1.1. Входной поток заявок
Рассмотрим более детально характеристики входного потока заявок и простейшие СМО. Потоком однородных событий называют временную последовательность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки равноправны. Существуют также потоки неоднородных событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.
Таким образом, для простейших потоков и элементарных СМО можно аналитически вычислить их качественные параметры. Реальные экономические объекты , как правило, представляют сложные СМО как по структуре, так и по входным потокам и параметрам. В большинстве случаев аналитические выражения для оценки качества СМО, моделирующих реальные экономические объекты и процессы, найти не удается. Применение имитационного метода к задачам массового обслуживания позволяет находить необходимые показатели качества для экономических систем любой сложности, если удается построить алгоритмы имитации каждой части СМО.
Работа алгоритма заключается в многократном воспроизведении случайных реализаций процесса прихода заявок и процесса их обслуживания при фиксированных условиях задачи. Меняя условия задачи, параметры входных потоков и элементов СМО, можно получить качественные параметры данной СМО при тех или иных изменениях. Качественные параметры СМО типа вышеперечисленных для простейших входных потоков и элементарных СМО оцениваются путем статистической обработки величин, являющихся качественными показателями функционирования СМО.
Это распределение принято называть распределением Пуассона , поэтому описанный нами входной поток заявок (в нашем случае - автомобилей) называют пуассоновским. Мы не собираемся излагать здесь вывод формул (2.1) и (2.2), читатель найдет его в книге Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей . - М. Наука, 1969.
В данном примере мы рассмотрели самый простой случай пуассоновский входной поток, экспоненциальное время обслуживания , одна обслуживающая установка. На самом деле, в реальности, и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включают в себя большее число бензоколонок. Для того чтобы упорядочить классификацию систем массового обслуживания , американский математик Д. Кен-далл предложил удобную систему обозначений, широко распространившуюся к настоящему времени. Тип системы массового обслуживания Кендалл обозначил с помощью трех символов, первый из которых описывает тип входного потока, второй - тип вероятностного описания системы обслуживания , а третий - количество обслуживающих приборов. Символом М он обозначал пуассоновское распределение входного потока (с экспоненциальным распределением интервалов между заявками), этот же символ применялся и для экспоненциального распределения продолжительности обслуживания. Таким образом, описанная и изученная в этом параграфе система массового обслуживания имеет обозначение М/М/1. Система M/G/3, например, расшифровывается как система с пуассоновским входным потоком, общей (по-английски - general) функцией распределения времени обслуживания и тремя обслуживающими устройствами. Встречаются и другие обозначения D -детерминированное распределение интервалов между поступлением заявок или длительностей обслуживания, Е - распределение Эрланга порядка п и т. д. эффективности затрат). И для этого необходима комплексная экспертиза, которая невозможна без скрупулезного, глубокого и детального анализа внутренней структуры проекта , позволяющего прокалькулировать производимые затраты и исчислить (описать) предполагаемые выгоды. Тогда проект перестает быть "черным ящиком ", а рассматривается как экономическая система . Под экономической системой обычно понимают комплекс взаимосвязанных элементов, каждый из которых сам может рассматриваться как система.
Однако, есть один ключевой компонент, который не учитывался в этом анализе прирост производительности. Вспомним, что производительность труда определяется , как реальная продукция, произведенная за час работы. Точно так же полный фактор производительности определяется как реальная продукция в единицу совокупности всех входных параметров. Полный фактор производительности отражает, частично, общую эффективность, с которой входные параметры преобразуются в продукцию. Это часто связывается с технологией, но также отражает и воздействие множества других факторов , подобных экономии на масштабе, любых неучтенных входных параметров, перераспределений ресурсов и так далее. Когда производительность растет, рост экономики (ВНП) может быть больше, чем рост разницы между количествами притекающими (расходы правительства и экспорт) и вытекающими (налоги и импорт), потому что большее количество продукции на единицу входного потока создает новое богатство на агрегированном уровне. Как следствие, представляется, что аргументы Годли нельзя применять напрямую.
МГЦ-бхобящий б логистическую систему материальный поток (Входной поток)
Из приведенных соотношений можно сделать следующий вывод для заданной конструкции колонны бинарной ректификации, определяющей коэффициенты тепло- и массопереноса, заданных составов потоков на входе и выходе и производительности колонны расход пара, флегмовое число и затраты тепла, подаваемого в куб, фиксированы и могут быть найдены по приведенным выше соотношениям. Если же заданы составы лишь входного потока, одного из потоков на выходе и производительность по целевому потоку, то может быть выбрана доля отбора (концентрация второго потока на выходе), минимизирующая затраты энергии на разделение.
КАНАЛ (обслуживания) (hannel, server) - одно из фундаментальных понятий массового обслуживания теории , обозначающее функциональный элемент, непосредственно выполняющий заявку, поступившую в массового обслуживания систему Это понятие в зависимости от специфики системы может иметь самые разл интерпретации, напр, к-л прибор, линия связи , принимающая поступающие требования, кран-штабелер, комплектующий заказы на складе, и т п Случайный характер входного потока заявок обусловливает неравномерность загрузки К в какой-то момент времени они могут быть пере-
С каждым отрезком времени [a,a+T ], свяжем случайную величину Х , равную числу требований, поступивших в систему за время Т .
Поток требований называется стационарным , если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а , а зависит только от длины данного промежутка Т .
Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т =24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т =60 минут) – можно.
Поток называется без последействия , если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.
Поток называется ординарным , если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования.
Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).
Поток называется простейшим , если он стационарный, без последействия и ординарный.
Основная теорема . Если поток – простейший, то с.в. Х распределена по закону Пуассона, т.е. .
Следствие 1 . Простейший поток также называется пуассоновским.
Следствие 2. M(X)=M(Х[ a, a+T ] )=lT , т.е. за время Т в систему в среднем поступает lT заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.
По характеру входной поток требований разделяется на детерминированный поток требований и стохастический (рис.2).
Детерминированный входной поток может быть двух видов. В первом случае требования поступают через равные промежутки времени. Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования поступают по известной программе - расписанию, когда моменты поступления новых требований известны заранее.
Рис.2. Классификация входного потока
Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастический процесс.
Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастическими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований.
Произвольный поток требований характеризуется тем, что на него не накладывается никаких ограничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а также на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями.
Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:
- продолжительность интервалов между поступлениями требований стохастически независимы;
- продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения.
Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерно:
- продолжительность интервалов между поступлениями требований статистически независимы;
- продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения;
- вероятность поступления требований на достаточно малом интервале Δt зависит только лишь от величины Δt (это свойство называется стационарностью или однородностью прихода);
- вероятность поступления требований на интервале Δt не зависит от предыстории процесса;
- характер потока требований таков, что в любой момент времени может поступить только одно требование.
Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.
Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом:
(1.1)
где λ - интенсивность поступления заявок в систему.
Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими).
Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга.
(1.2)
СМО с отказами
Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок П вх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП вх =λ. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо λ записывают λ (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т об распределено по показательному закону и записывается в виде: , где λ - интенсивность отказов.
Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S 0 - канал свободен и простаивает, S 1 - канал занят. Переход системы из состояния S 0 в состояние S 1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок П вх, а из состояния S 1 в состояние S 0 систему переводит поток обслуживании П об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S 0 в S 1 и обратно равны соответственно λ и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.
Рис.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.
Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).
Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s 0 - все n каналов свободны; s 1 - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; s i - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; s n - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.
Рис.4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами.
При этом имеет место а 
Пользуясь общим правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис.2 и рис.3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений:
например, для одноканальной СМО (рис.2) имеем:
для многоканальной СМО (рис.3) соответственно имеем:
Решив первую систему уравнений, можно найти значения p 0 (t) и p 1 (t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях:
СМО с ожиданием
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживания равна µ (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.
Рис.6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 - канал свободен;
S 1 - канал занят (очереди нет);
S 2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);
S n - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);
S N - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
(1.11)
где ρ=λ/µ; n - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид:
(1.12)
(1.13)
Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки:
(1.14)
относительная пропускная способность системы:
(1.15)
абсолютная пропускная способность:
среднее число находящихся в системе заявок:
(1.17)
среднее время пребывания заявки в системе:
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
(1.19)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
. (1.20) .
Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний - интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.
Система может находиться в одном состоянии S 0 , S 1 , S 2 ,…,S k ,…,S n ,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны; …, S k - занято k каналов, остальные свободны; …, S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n +1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка; …, S n + r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, ….
среднее число заявок в очереди:
(1.32)
среднее число заявок в системе:
(1.31) .
Определение 6.1. Входной поток называют простейшим, если:
1) вероятность появления того или иного числа заявок на йременном интервале зависит лишь от его длительности и не зависит от его расположения на временной оси (стационарность входного потока), причем заявки поступают поодиночке (ординарность входного потока) и независимо друг от друга (отсутствие последействия во входном потоке);
2) вероятность реализации отдельного случайного события (появление заявки) на временном интервале малой длительности пропорциональна с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с т.е. равна где
3) вероятность реализации двух и более случайных событий (появление двух или более заявок) на временном интервале малой длительности есть величина
Отсутствие последействия в определении простейшего входного потока означает, что для любых непересекающихся временных интервалов число заявок, поступающих на одном из этих интервалов, не зависит от числа заявок, поступающих на других интервалах.
Несмотря на то, что входные и выходные потоки многих реальных систем обслуживания не удовлетворяют полностью определению простейшего потока, понятие простейшего потока широко используют в теории массового обслуживания. Это обстоятельство связано не только с тем, что простейшие потоки достаточно часто встречаются на практике, но и с тем, что сумма неограниченного числа стационарных ординарных потоков с практически любым последействием является простейшим потоком. В связи с этим рассмотрим основные свойства простейшего потока.
Теорема 6.1. Дискретная случайная величина принимающая значения и характеризующая при простейшем входном потоке число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, распределена по закону Пуассона с параметром
Рассмотрим скалярный случайный процесс с дискретными состояниями (т.е. для любого фиксированного момента времени его сечение ) является дискретной случайной величиной с множеством возможных значений Пусть его пребывание в состоянии означает наличие в системе обслуживания к заявок.
В соответствии с условиями теоремы и определением простейшего потока случайный процесс , является марковским однородным процессом с дискретными состояниями, причем для любых целых неотрицательных i и j плотность вероятностей перехода системы обслуживания из состояния , в состояние в любой момент времени определяется равенством
Поэтому в данном случае система уравнений Колмогорова имеет следующий вид:
где - вероятность того, что на временном интервале длительности t в изучаемую систему обслуживания поступит к заявок. А так как из определения 6.1 простейшего потока заявок следует, что
то приходим к задачам Коши относительно функции
и функций
Последовательно решая задачи Коши (6.3), (6.4), в случае простейшего входного потока находим вероятность того, что число заявок на временном интервале длительности t будет равно
Соотношения (6.5) означают, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром
Следствие 6.1. Если входной поток является простейшим, то среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности t, равно
Чтобы определить среднее число заявок, нужно найти математическое ожидание случайной величины . А так как, согласно (6.5), она распределена по закону Пуассона с параметром то
Согласно доказанному следствию, параметр Л представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Поэтому его называют интенсивностью, или плотностью простейшего потока.
Следствие 6.2. Если входной поток заявок является простейшим, то дисперсия скалярной случайной величины характеризующая рассеивание числа заявок, поступающих в систему массового обслуживания на временном интервале длительности t, относительно их среднего значения, равно
М Если входной поток простейший, то, согласно (6.5), случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром Следовательно,
Обратим внимание на то, что, согласно (6.6) и (6.7), у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание и дисперсия совпадают.
Пример 6.1. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заказов в час. Считая поток заказов простейшим, определим вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа; б) за 10 минут поступит не более трех заказов.
Так как поток заказов является простейшим и интенсивность то, согласно (6.5), имеем:
В соответствии с определением 6.1 простейшего потока, длительность временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками является случайной величиной Для построения математических моделей систем обслуживания необходимо знание функции распределения случайной величины или ее плотности распределения (вероятностей)
Теорема 6.2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью А длительность временного интервала между двумя последовательными заявками имеет экспоненциальное распределение с параметром А.